LA GRANDEUR DE LA TERRE

On demande quelle est la grandeur du Globe de la Terre, & parce qu'il seroit impossible d'en mesurer le tour entier, on est réduit à la mesure d'une partie dont on puisse conclure la grandeur du tout, & l'on se retranche ordinairement à la quantité d'un Degré.        Jean Picard. 1680. 

Parmi les questions à 1000 euros que l'on pourrait poser lors d'un quiz télévisé figure la question suivante: quelle distance représente un degré de latitude?

Ici les navigateurs, qu'il s'agisse de marins ou d'aviateurs, sont avantagés car ils répondront sans hésiter, on l'espère pour eux: 60 milles nautiques. Cette réponse est incontestable car, comme nous venons de le voir, ce mille nautique est, par définition, la distance au sol correspondant à une minute (') de latitude et comme il y a 60 minutes dans un degré... Ceux qui pensent en kilomètres ne sauront généralement rien répondre. 

Et d'abord, pourquoi mesurer un degré de latitude (ou un degré d'une méridienne si l'on préfère)? Comme le dit Jean Picard: connaître la grandeur de la terre. Le raisonnement est enfantin: puisqu'une méridienne couvre un angle de 360° (un cercle complet), il suffit de multiplier par 360 la longueur d'un degré. La précision obtenue ne dépend que de la façon de mesurer cette longueur.   

LE DEGRÉ DE LATITUDE SELON LES GRECS.  

Rappelons d'abord que, déjà 5 siècles avant J.C., les philosophes grecs savaient parfaitement que la terre était une sphère. Ils le démontraient aisément et c'était la base de tous leurs raisonnements en astronomie et géographie. 

Ératosthène mesure le globe à l'aide d'un cadran solaire

Sur la grandeur de la terre, les physiciens ont soutenu bien des opinions, mais celles de Posidonius et Ératosthène sont supérieures aux autres. Cléomède

L'antiquité nous a légué un ouvrage élémentaire d'astronomie "Du mouvement circulaire des corps célestes" du philosophe grec peu connu Cleomède  écrit (sans doute) au premier siècle après.J.C.  Dans le Livre I. Chap.10., Cleomede nous explique comment mesurer la grandeur de la terre par deux moyens simples et apparemment différents. Il s'inspire d'ouvrages aujourd'hui perdus d’Ératosthène et de Posidonius, deux personnages vivant essentiellement à Alexandrie.

Ératosthène dirigeait en son temps (disons vers 230 av. J.C.), la bibliothèque d'Alexandrie qui devait à coup sûr contenir de nombreuses mesures du territoire égyptien. Il supposa qu'Alexandrie et Syène (aujourd'hui Assouan) étaient sur la même méridienne et que ces deux villes étaient distantes de 5.000 stades grecs selon l’évaluation des caravaniers ou l'examen des cadastres, personne ne sait. Un chiffre aussi rond laisse évidemment rêveur.

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 Ératosthène supposa que le soleil était assez éloigné de la terre pour que tous les rayons qui parviennent au sol soient parallèles entre eux. Il savait aussi que Syène se trouvait sous le tropique du Cancer, autrement dit que les gnomons n'y portaient aucune ombre le jour du solstice d'été car il se trouvait à leur zénith.   

A Alexandrie, ce même jour du solstice d'été, l’ombre du gnomon utilisé par Ératosthène indiquait selon lui 1/50 de tour. Il est plus que probable qu'il se servit dans son évaluation d'un cadran solaire grec, le scaphé, comme le suggère Cléomède : 

Or, on constate que l'arc de cercle contenu dans la coupe représente la cinquantième partie du cercle total correspondant. Il faut donc de toute nécessité que la distance entre Syène et Alexandrie soit aussi la cinquantième partie du grand cercle de la terre; or cette distance est de cinq mille stades. Le cercle entier est donc de 250.000 stades [5.000 stades x 50]. Telle est la méthode d'Eratosthène.  

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Évidemment, Syène n'est pas tout à fait sur le méridien d’Alexandrie, les 5000 stades sont plus que douteux, le tropique du Cancer était à l'époque à quelques dizaines de kilomètres de Syène, et l'ombre d'un gnomon est difficile à évaluer, mais l'important était d'utiliser cette méthode géniale que l'on a toujours employée depuis, en augmentant bien entendu la précision.  

Notons que cette valeur de 1/50 ième de tour, correspond à 7,2 ° (360°/50). Aujourd'hui, on peut dire qu'en gros Alexandrie se trouve à 31°N et Syène à 24°N, la différence est donc de 7°. Pas si mal vu!

La méthode d’Ératosthène fait partie de tous les programmes d'enseignement moderne. Sans doute pour la rendre attrayante et faire couleur locale, les professeurs parlent d'obélisques, d'un certain puits d'Assouan éclairé jusqu'au fond  et autres détails folkloriques, mais ces derniers semblent clairement inventés pour des raisons pédagogiques. L'on insiste beaucoup sur le soit-disant puits d'Assouan comme si la méthode d’Ératosthène en dépendait et cela, entre autres, sur une affirmation douteuse de Pline qui prétend qu'un puits aurait été creusé dans ce but.
Pourtant, et ceci n'est jamais mentionné, Cleomedes indiquait, à titre personnel:
On installe également des cadrans aux jours du solstice d'hiver en chacune des deux villes et, bien que les deux cadrans projettent des ombres, on constate que l'ombre à Alexandrie est nécessairement plus grande à cause du plus grand éloignement de cette ville par rapport au tropique d'hiver. En prenant par conséquent l'excédent de l'ombre d'Alexandrie sur celle de Syène, on constate que cet excédent est la cinquantième partie du grand cercle contenu dans le cadran solaire. Et ainsi, il est facile de comprendre par là encore que le grand cercle de la terre est de deux cent cinquante mille stades.
 

Posidonius et l'étoile Canopus

Selon Cleomede, l'astronome Posidonius de Rhodes s'était rendu compte que, vue de cette île (en direction du sud), la brillante étoile Canopus était tout juste visible au ras de l'horizon au moment où elle culminait.

Pour nous, il s'agit de l'étoile alpha Carinae (constellation de la Carène ou Argo), la plus brillante du ciel après Sirius, mais toujours en dessous de l'horizon sud en Grèce continentale. 

Posidonius savait que, comme tous les astres, cette étoile s'élevait progressivement dans le ciel pour un voyageur se déplaçant vers le sud. Il évalua la distance de Rhodes à Alexandrie à 5000 stades et supposa ces deux endroits sur la même méridienne.

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Il observa aussi Canopus à Alexandrie et nota, on ne sait comment, que l'étoile s'élevait au méridien de l'équivalent de ¼ de signe du zodiaque au dessus de l'horizon. Comme le zodiaque comprend 12 signes, ¼ de signe vaut 1/48 ième de cercle.

D'après cette mesure, le degré de latitude vaut donc 240.000 stades (5000 x 48) soit pas bien loin de la valeur attribuée à Eratosthène .

Notons que 1/48 ième de cercle vaut 7,5°. La différence réelle de latitude entre Rhodes et Alexandrie est de l'ordre de 5°.

Les chiffres d’Ératosthène et Posidonius triturés.

La valeur du tour du globe de 250.000 stades trouvée par Ératosthène nous est donnée par Cleomedes, mais les autres géographes de l'antiquité fournissent sans s'expliquer le chiffre de 252.000 stades. On peut supposer que la mesure fut « améliorée », peut être par Ératosthène lui-même, pour la rendre divisible par 360, ce qui donne un degré de 700 stades tout rond (252.000 / 360).

D'autre part, le géographe Strabon, qui vivait au début du premier siècle, nous apprend que le tour de la terre était considéré de son temps de 180.000 stades, un degré faisant ainsi 500 stades seulement (180.000 /360). Certains pensent qu'il s'agit d'une confusion entre les diverses valeurs des stades.

Au 2ème siècle après J.-Cle célèbre astronome Ptolémée choisit, dans sa Geographia, d'utiliser cette dernière valeur qui était en réalité bien trop petite.

Pendant tout le moyen âge les géographes furent divisés entre la valeur d’Ératosthène (700 stades), assez proche de la réalité comme nous le savons aujourd'hui, et celle de 500 stades. C'est, en partie, en se basant sur cette dernière mesure que Christophe Colomb imagina le projet de rejoindre les Indes par l'Ouest. Ce faisant, il sous-estimait le trajet de quelques 10.000 km. Si Ptolémée avait adopté la mesure faite par Ératosthène, peut-être Christophe Colomb ne se serait-il pas lancé dans l'aventure ! 

Au fond, que vaut le degré d'Eratosthène?

Si l'on tient absolument à connaître en kilomètres la valeur du degré obtenue par Ératosthène, il faut évidemment attribuer au stade grec une certaine valeur dans notre système métrique. Ce stade était généralement de 600 pieds mais, ces pieds variant d'une cité à l'autre; il pouvait valoir entre 150 et 200 mètres, si l'on en croit les spécialistes.

La valeur d'un degré de 700 stades est donc comprise en gros entre 105 et 140 Km comparée à la valeur actuelle de l'ordre de 111 km à la latitude de l'Egypte. Ératosthène a eu une sérieuse chance, pour autant qu'il ait utilisé un de ces stades, ce qui n'est nullement prouvé. De toutes façon, la mesure d’Ératosthène est assez remarquable pour qu'il ne soit pas nécessaire de discuter une précision à laquelle il ne pouvait prétendre. 

LES ASTRONOMES « ARABES » DANS LE DESERT 

Plusieurs astronomes "arabes" nous apprennent que vers 820 ap.J.C. le calife de Bagdad Al-Mamoun, grand admirateur des philosophes grecs, décida de faire vérifier par ses "experts" la longueur d'un degré de méridienne. Dans ce but, il les envoya dans le désert de Sinjar (dans le nord de l'Irak actuel). Il s'agissait pour deux groupes d'arpenteurs de marcher l'un vers le Sud, l'autre vers le Nord le long d'une méridienne jusqu'à obtenir une différence de 1° de latitude; la longueur totale mesurée correspondait donc à deux degrés. Ils trouvèrent pour leur degré entre 56 et 57 milles. On pense, sans preuves, qu'il s'agissait   du mille imposé par Al Mamoun pour toutes les mesures et valant 4000 coudées dites ''noires''. Si l'on prend pour longueur de cette coudée la valeur de 0,494 m souvent avancée par les orientalistes, on trouve pour un degré de meridien 111,4 Km (56,5 x 4000 x 0,493). Cette valeur semble fort proche de la réalité; cependant le doute reste sur la valeur de la coudée utilisée.

De toutes façon, pour la première fois, la grandeur de la terre était basée sur des distances réellement mesurées le long d'une méridienne.   

JEAN FERNEL ET SON CARROSSE

On a du mal à l’imaginer, mais plus de sept siècles s’écoulèrent avant que quelqu'un se décida à mesurer à nouveau un degré de latitude. Le médecin français Jean Fernel (1497-1558) fut un des plus réputés de son temps, mais avant d'étudier la médecine il s'intéressa à l'astronomie. Dans son ouvrage Joannis Fernelii Ambianatis cosmotheoria. (Théorie du monde de Jean Fernel d'Amiens)Paris. 1528., il nous explique comment il s'y pris pour mesurer tout seul un degré de latitude.    

Pour observer la hauteur du soleil, il fabrique un quadrant copié de Ptolémée, instrument faisant 8 pieds de rayon (de l'ordre de 2,60 m !).

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Sur la figure qu'il fournit, la verticale AC est manifestement donnée par un fil à plomb. L'on distingue les deux pinnules de visée sur l'alidade AB. La règle CD était graduée à la minute près. C'est au fond la première fois dans l'histoire que l'on nous montre un instrument ayant réellement servi à mesurer une fraction de méridienne et par conséquent la grandeur de la terre!

Fin août (on ne sait de quelle année), Fernel quitte Paris plein Nord vers Amiens, qui est à peu près sur la même méridienne et s’arrête lorsque son instrument lui indique que sa latitude a augmenté de un degré tout juste, sans doute près des portes de la ville. Les paysans du coin lui indiquent qu'il avait fait 25 lieues, mais il préfère déterminer un peu plus scientifiquement la distance parcourue en comptant le nombre de tours de roues de son carrosse et en tenant compte de son mieux des irrégularités de la route. Il trouve, nous dit-il, 17.024 tours et évalue leur circonférence à 20 pieds. Son degré de latitude valait donc 17.024 x 20 = 340.480 pieds du Roi. Convertir ces pieds en mètres et kilomètres est assez hasardeux. De toutes façon, cette mesure n'eut aucune application pratique.

LE DEGRE DE RICHARD NORWOOD

Tout sépare l'illustre médecin français et Richard Norwood (1590-1675), navigateur et cartographe anglais, sauf qu'ils firent, à un siècle de distance, la même mesure en suivant le même principe, aux détails près. Norwood, contrairement à Fernel (dont il n'avait certainement jamais entendu parler) ne s'intéressait qu'à la sécurité de la navigation en haute mer.

En effet, en son temps, les marins anglais considéraient que la longueur d'un degré de latitude faisait 300.000 pieds (anglais), autrement dit 5.000 pieds pour un mille nautique (300.000 / 60).

Selon Norwood, cette valeur était basée sur les 500 stades par degré de Ptolémée, en considérant qu'un stade valait 600 pieds anglais (500 x 600 = 300.000). Norwood estimait avec raison que cette valeur n'avait jamais été démontrée par personne et que s'y fier rendait dangereux l'usage des cartes. Il se décide donc à faire la mesure avec précision. 

On trouve cette mesure détaillée dans son ouvrage fameux: The Seaman's Practice; containing A Fundamental Problem in Navigation, Experimentally verified. London.1637. Le  "Fundamental Problem"  est, bien entendu, la mesure du degré de latitude (The Quantity of a Degree in our English Measures, dit -il).

Norwood nous explique que, se trouvant le 6 juin 1635 près du centre de la ville de York, il détermine la hauteur du soleil à midi et cela à l'aide d'un secteur gradué, un sextant, de plus de 5 pieds de rayon. Deux ans plus tôt, le 11 juin 1633, il avait fait la même mesure près de la tour de Londres.

Au début de juin, à l'approche du solstice d'été, la déclinaison du soleil varie très peu. Norwood considère donc que la déclinaison du soleil est la même pour ces deux jours.

Il trouve ainsi entre Londres et York une différence de latitude de 2° 28'.  NB. De nos jours: 2° 27'!

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Restait à évaluer la distance au sol entre ces deux villes situées en gros sur le même méridien (1° d'écart selon lui) mais éloignées d'environ 270 km! Dans ce but il se sert de chaînes d'arpenteur étalonnées qui viennent d'être inventées (Chaînes de Gunter).             

Unknown

Norwood nous dit: "Ayant fait, comme dit plus tôt, mes observations à York, je mesurai (pour la plus grande partie) le chemin de là à Londres et lorsque je ne mesurais pas, je comptais mes pas (ce en quoi, par habitude, je parvenais très près de la vérité), observant au circumferentor les principaux angles et détours du chemin, en tenant compte convenablement des plus petits détours, montées et descentes."  

Le "circumferentor" dont parle Norwood est un théodolite primitif constitué d'une boussole équipée d'une alidade, l'ensemble permettant de relever les angles.

Circumferentor table of surveying cyclopaedia volume 2

C'est ainsi qu'il mesura entre Londres et York une distance de 9149 chaînes. Ceci donnait un degré de latitude de 367.200 pieds anglais, c.à.d. un mille nautique de 6.120 pieds ( 367.200 /60 ) au lieu des 5000 habituellement admis de son temps, une sacré différence!

On peut dire, que la mesure de Norwood fut la première mesure précise et utile de la dimension de la terre. Elle était précise à cause de l'importance de l'arc mesuré (2 1/2 °) et des précautions prises pour la mesure de la distance. Elle était utile car ce qui intéressait notre navigateur n'était nullement la cosmologie comme Fernel, mais l'étalonnage des compteurs de vitesse des bateaux (loch), dont la précision déterminait le calcul de l'estime et par conséquent la sécurité en haute mer.

Suite à cette mesure, Norwood proposa pour les loch une corde dont les noeuds sont espacés de 50 pieds.  Si, à titre d'exercice seulement, on utilise la valeur moderne du pied anglais (0,3048 m), on peut dire que Norwood avait trouvé pour un degré de latitude : 111,92 Km (Aujourd'hui 111,27 Km, à la latitude de sa mesure).  

Vu autrement, le mille nautique actuel vaut exactement 1852 mètres (6.076 pieds) comparés aux 6.120 pieds trouvés par Norwood.

LA TRIANGULATION DE SNELLIUS

Il est évident que pour faire mieux que Norwood, il fallait être capable de mesurer de grandes distances avec précision tout en évitant de passer par des chemins qui vont dans tous les sens.

La solution vint de deux savants des Pays-Bas: Gemma Frison dit Frisius (1508-1555) et Willebrord Snel Van Royen (1580-1626), dit Snellius. Le premier inventa la méthode sans la mettre en pratique, le second l'utilisa en obtenant malheureusement une mesure peu précise. 

C'est dans un brochure d'une douzaine de pages datant de 1533, que Frisius expliqua sa façon de procéder. Cette brochure avait pour titre: "Un petit livre très utile et profitable pour tous les géographes, apprenant à mesurer et calculer la distance entre deux lieux, ce que l'on n'a jamais vu auparavant. Fait par Gemma Frisius, mathématicien et licencié en médecine."  

Sa méthode pour mesurer les distances est ce que l'on nomme de nos jours la triangulation.

La triangulation  

On peut expliquer cette méthode de façon moderne de la façon suivante.  

On commence par exemple par choisir trois lieux ABC situés fort loin l'un de l'autre mais tout de même visibles (clochers d'églises, sommets de montagnes ). A l'aide de cercles ou segments de cercle gradués disposés horizontalement et munis de pinnules (ou plus tard de lunettes), on vise les points A,B et C pour mesurer les angles intérieurs du triangle ABC. 

Ce qu'il y a de merveilleux dans cette méthode, c'est que l'on peut vérifier l'exactitude de ces angles en se souvenant que leur somme fait toujours 180°, dixit Euclide. Si cette somme s'écarte légèrement de 180°, il y a lieu de répartir l'erreur de la meilleur façon possible, aussi il y a-t-il toujours intérêt à se rapprocher des triangles équilatéraux. 

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Il est à noter qu'il est possible de ne mesurer que deux angles du triangle pour trouver le troisième, mais cette méthode est évidemment moins précise et méprisée de tous les spécialistes. On répète la même opération pour une série de triangles (BCD, CDE, DEF, etc..) disposés au mieux à cheval sur la méridienne dont on désire mesurer une portion. L'on choisit le côté d'un des triangles, côté que l'on nomme base, et on en mesure la longueur au sol avec la plus grande précision possible.

Au départ de cette base, qui peut être fort petite, les formules des triangles permettent de calculer les côtés de tous les triangles de la chaîne.  

On mesure aussi l'angle que forment les côtés des triangles avec la méridienne pour calculer les distances le long de cette dernière et par conséquent la longueur totale de la portion de méridienne dont on désire connaître la longueur (ici AF, par exemple 222 Km). Notons que si les distances sont importantes, les triangles étant courbes, la somme des angles ne vaut pas exactement 180° mais la trigonométrie sphérique permet de résoudre le problème.

L'autre partie de l'opération, tout aussi importante, consiste en une visée sur les étoiles permettant de connaître la différence de latitude entre les extrémités de la portion de méridienne AF (par exemple 2°). 

Il suffit alors de diviser la longueur AF par cet angle pour trouver la longueur du degré de méridienne (ou de latitude si l'on préfère), ici 222 Km /2° = 111 Km pour un degré. 

Le degré de latitude de Snellius 

C'est en suivant cette méthode que Snellius décida de mesurer la longueur d'un degré de méridienne entre la ville d'Alkmaar dans le Nord des Pays-Bas et Bergen op Zoom en Zélande. Il publia ses résultats en 1617, dans un ouvrage à la fois clair et fort optimiste: L’Ératosthène batave. De la vraie dimension du tour de la terre. 

Snellius fit ses visées du sommet des clochers et beffrois de 14 villes, obtenant pas moins de 54 angles. Il s'agissait de grands triangles, les Pays-Bas offrant des vues très lointaines. Il se servait de demi-cercles gradués à pinnules d'un diamètre de l'ordre du mètre. 

Comme base, il mesura, au sud de Leiden, à l'aide de chaînes d'acier, une ligne extraordinairement courte car de l'ordre de 300 mètres de longueur seulement, mais une triangulation locale lui permettait de l''étendre artificiellement. 

Il mesura la latitude d'Alkmaar, de Bergen op Zoom et de Leiden à l'aide d'un grand quadrant de près de deux mètres de diamètre. De ce travail, Snellius nous dit seulement "A Alkmaar, nous avons mesuré la hauteur du pôle avec diligence et précaution "et "La hauteur du pôle à Leiden a été trouvé de 52° 10' 1/2 , encore et encore et de différentes façons".  

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Le tronçon de méridienne entre Alkmaar et Bergen op Zoom, correspondait à une différence de latitude d'un peu plus de 1 degré, celui compris entre Alkmaar et Leiden, de 1/2 degré seulement. Snellius déduisit de ces deux mesures qu'un degré de latitude faisait 28.500 perches du Rhin (rijnlandse roeden) ce qui correspond de nos jours à sensiblement 107,3 Km. Cette valeur est malheureusement fort faible par rapport à la valeur réelle qui est, à cette latitude, de 111,2 Km; une erreur de l'ordre de 4 %.

En fait Frisius se rendit rapidement compte qu'il avait commis un certain nombre d'erreurs de calcul. Il se remit au travail avec ses étudiants et remesura même une nouvelle base sur une prairie gelée près de Leiden. En corrigeant sa principale erreur, il aurait pu obtenir un résultat un peu plus précis, mais l'imperfection venait de ses mesures vers le ciel. Il mourut avant d'avoir terminé. Avec l'instrument à pinnules qu'il possédait, il ne pouvait faire mieux. Il disait lui même qu'un objet gros de plusieurs minutes n'était vu que comme un point!

LE DEGRÉ DE LATITUDE DE LABBÉ PICARD

C'est une chose qui me paraît toujours admirable, qu'on ait découvert de si sublimes vérités avec l'aide d'un Quart de cercle et d'un peu d'arithmétique.  Voltaire.   

Il se fait que sur l’ordre de Louis XIV et de Colbert qui désiraient, pour des raisons politiques et administratives, une carte précise du royaume, l’abbé-astronome Jean Picard fut chargé en 1668 d'une mesure moderne et incontestable.

Comme ce dernier l'indiqua à cette occasion: "Outre que par ce moyen on aurait une carte la plus exacte qui ait encore été faite, on en tirerait cet avantage de pouvoir déterminer la grandeur de la terre". 

Picard avait à sa disposition un moyen parfait pour mesurer avec précision de grandes distances, à savoir le procédé de triangulation, utilisé par Snellius un demi siècle plus tôt, mais il avait sur ce dernier un énorme avantage. Il venait d'équiper ses quadrants gradués de lunettes, au lieu de pinnules. Ceci lui permettait une visée précise qui ne dépendait pas de la vue. Comme il était nécessaire de marquer le centre du champ de vision de ces lunettes, Picard en collaboration avec son collègue Auzout inventa le réticule composé de fins fils croisées placés au foyer de l'oculaire et même le micromètre permettant de les déplacer. 

C'est ainsi que Picard décida de mesurer une distance proche de la méridienne de l'observatoire de Paris, distance correspondant pratiquement à un degré de latitude. Sa chaine de triangles commençait au nord dans un village proche d'Amiens (Sourdon) et se terminait au sud près d'une ferme (dite « de  Malvoisine ») dominant toute la région, à 40 Km au sud de Paris. Près de cette ferme, sur la commune de Champcueil (Essonne), une borne géodésique moderne indique encore cet endroit historique. Pour sa mesure finale, Picard étendit cependant ses triangles jusqu'à la cathédrale d'Amiens.

Picard relata ses travaux dans La mesure de la terre, paru en 1671. 

La mesure de la base 

Picard situe ainsi la base de sa triangulation:  

Il y a un grand chemin pavé en ligne droite depuis le Moulin de VilleJuive jusqu'au pavillon de Juvisy: ce fut la distance entre ces deux stations, que l'on destina à être la base de tout cet ouvrage. 

Cette base est de nos jours fort facile à trouver car le « grand chemin pavé en ligne droite » est devenu la route rapide qui traverse l'aerodrome d'Orly en passant en partie sous les pistes et joint effectivement Villejuif à Juvisy-sur-Orge.

Picard la fit soigneusement mesurer deux fois à l'aide de perches en bois de 4 toises ( un peu moins de 8 mètres). A l'aller, il trouva 5.662 toises et 5 pieds, au retour 5.663 toises et 1 pied. En arrondissant cette distance à 5.663 pieds, Picard partait d'une base à la fois fort longue (11 Km) et vraiment précise. La distance totale sur le terrain dépendait essentiellement de sa façon de mesurer les triangles. 

Notons que pour ajuster ses perches en bois, Picard disposait de l'étalon français de mesure de longueur (la toise) qu'il venait lui même de restaurer et qu'un édit royal venait tout juste d'officialiser pour tout le royaume. Cet étalon était un gabarit en fer scellée dans un mur du Châtelet à Paris. 

La mesure des angles des triangles 

Picard mesura les angles intérieurs d'une bonne dizaine de triangles au moyen de lunettes montées sur un grand quart de cercle gradué disposé horizontalement. 

En calculant les côtés de tous ses triangles et en les rapportant à la méridienne, il obtint 68.430 toises 3 pieds comme distance totale.   

La différence de latitude 

Pour déterminer dans le ciel la différence de latitude entre les extrémités de sa chaîne de triangles, Picard mesure l'écart entre son zénith et une étoile assez proche de ce dernier au moment où elle passe au méridien. Il s'agit de Ruchbah ou le genou de Cassiopée (Delta Cassiopea). En faisant la même opération à Sourdon et Malvoisine, il trouve un écart de 1° 11' 57 ''. 

Le Quart de cercle, qui avait servi à prendre les angles des triangles, était de 3 pieds 2 pouces de rayon. Mais on jugea qu'il était à propos d'avoir un plus grand instrument, pour connaître plus exactement les différences des hauteurs de Pôle, des deux termes  mesurés. C'est pourquoi on y employa une portion de cercle, de 10 pieds de rayon, garni de lunettes d'approche au lieu d'alidades. 

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On imagine aisément la difficulté de viser le zénith au fil à plomb à l'aide d'un instrument de plus de trois mètres de haut et cela pour essayer d'atteindre une précision de quelques seconde d'arc ('') ; rien à voir avec les instruments d'arpenteur d'aujourd'hui ! 

Picard reste d'ailleurs prudent: 

Mais quoique les instruments dont on s'est servi pour prendre les hauteurs des étoiles fixes soient très grands & très bien divisés, on ne peut point pourtant y être assuré qu'il n'y ait pas une erreur de 4 secondes de degré tout au plus: ce qui peut venir tant de la part de la division de l'instrument, que de celle des observations faites pour sa vérification.  

Le degré de Picard 

C'est pourquoi, on demeure toujours dans l'incertitude de plus de 60 toises sur le degré qui a été déterminé de 57.060 toises; quand même on serait d'ailleurs parfaitement assuré de la mesure des Triangles, qui ont donné la distance des lieux. 

Vérifions le doute de Picard: 1 minute de degré mesurée dans le ciel vaut au sol 1 mille nautique (de nos jours 1852 m) et 1 seconde vaut 30,9 m (1852/60). Les 4 secondes d'erreur estimées par Picard valent donc bien de l'ordre de 60 toises  (4 X 30,9 m /1,949).

Nous savons de nos jours que la mesure de Picard était remarquablement proche de la réalité. Pour s'en rendre compte, il faudrait évidemment connaître exactement la valeur de la toise que Picard avait mesuré sur le gabarit du Châtelet, toise perdue depuis longtemps, car toute erreur sur la mesure de la base se répercute sur la valeur du degré. En prenant, ne fût-ce que par curiosité, la valeur officielle de cette toise, à savoir 1,949 m, on voit que le degré de latitude trouvé par Picard valait 111,21 km (57.060 x 1,949).

Ce degré vaut aujourd'hui, disons, 111,20 KmUne précision incroyable qui montre que ses erreurs ont dû se compenser, comme l'affirmait d'ailleurs Cassini bien plus tard  

PROUVER QUE LA TERRE EST (UN PEU) APLATIE. 

Cependant on osa avancer que la vie des navigateurs dépendait de cette question. O charlatanisme! Entrerez vous jusque dans les degrés du méridien?   Voltaire. 

Tous ceux qui se sont appliqués à mesurer un degré de latitude le long d’une méridienne sont partis de l’idée que la terre était une sphère parfaite. Dans cette perspective, peu importe à quel endroit de cette méridienne l’on fait la mesure, un degré est toujours représenté au sol par la même distance.

L'affaire de la terre (un peu) aplatie commença, on a du mal à le croire, par l'observation des battements d'un pendule. Rappelons que Galilée, en son temps, avait constaté que ces battements étaient parfaitement réguliers (isochronisme), jusqu'à un certain point cependant. En son temps, Christiaan Huygens repris à fond la théorie du pendule et montra de façon convaincante que ces battements ne dépendent en aucune façon du poids du pendule mais sont d'autant plus lents que le pendule est long.

A Cayenne, les horloges retardent sur celle de Paris! 

Lorsque l'Académie Française des Sciences envoya de 1671 à 1673 l'astronome Jean Richer à l'île de Cayenne (à 5° seulement au nord de l'équateur), c'était pour y faire d'importantes mesures astronomiques. On peut d'ailleurs considérer ce voyage comme une des premières véritable expéditions scientifiques. L'une des observations secondaires qui lui étaient demandées consistait à vérifier le fonctionnement de ses horloges à pendules qui lui étaient de toutes façon nécessaires pour ses observations. 

A cette occasion, Richer remarqua que l'horloge à pendule de Huygens qu'il avait amené de Paris battait un peu trop lentement; elle retardait en fait de 2 à 3 minutes par jour. Richer fut obligé de raccourcir légèrement son pendule pour lui faire indiquer l'heure exacte. Ayant ramené à Paris son horloge au pendule "raccourci", cette dernière avançait de la même valeur. 

Richer commentait ainsi sa découverte: 

L’une des plus considérables Observations que j’aie faites, est celle de la longueur du Pendule à secondes de temps, laquelle s’est trouvée plus courte à Caïenne qu’à Paris.[...] Leur différence a été trouvée d'une ligne et un quart, dont celle de Caïenne est moindre que celle de Paris, laquelle est de 3 pieds 8 lignes 3/5. Cette observation a été réitérée pendant dix mois entiers, où il ne s’est point passé de semaine qu’elle n’ait été faite plusieurs fois avec beaucoup de soin.  

Certains prétendirent qu'il s'agissait d'une erreur ou d'une influence de la chaleur ou de l'humidité sur le fil du pendule, mais dans les années qui suivirent, tous les expérimentateurs qui s'aventurèrent sous les tropiques rapportèrent le même phénomène. 

Peu d'années plus tard, paraissent les Principia de Newton, ouvrage fameux dans lequel ce dernier expose sa théorie de la gravitation. Pour lui, le pendule ralentit ses mouvements au fur et à mesure que l'on approche de l'équateur parce que la pesanteur est moindre sous cette ligne qu'aux pôles et cela pour deux raisons. D'abord à cause de la force centrifuge qui croît en allant vers l'équateur; ensuite parce que la surface terrestre y est plus éloignée du centre du globe qu'elle ne l'est aux pôles. Pour Newton, la terre avait été fluide à l'origine et par l'effet de la rotation s'était aplatie aux pôles en se solidifiant. 

Il note au passage la constatation indiscutable qu'une planète comme Jupiter, en rotation rapide, n'est pas parfaitement sphérique, mais aplatie à vue de télescope. Cet aplatissement constaté depuis 20 ans fut trouvé plus tard de l'ordre de 7%. 

Newton chercha, en utilisant sa théorie de l'attraction universelle, à calculer l'aplatissement de la Terre et obtint 1/230. Il dit, en parlant de Richer: 

.. si l'on se fie aux observations de ce gentlemen, la terre est plus haute sous l'équateur qu'aux pôles et cela d'environ 17 milles, comme la théorie précédente l'a donné. 

De son côté, en Hollande, Huygens attribue la modification des battement du pendule de l'horloge aux mêmes raisons que Newton mais n'est pas d'accord avec la loi de gravitation universelle proposée par ce dernier. Cette différence de conception se retrouve dans le calcul de l'aplatissement car Huygens obtient une valeur de 1/576 bien plus faible que celle de Newton.  

Vérifier si la terre est réellement aplatie!  

A Paris, vous figurez la terre faite comme un melon; à Londres, elle est aplatie des deux côtés. Voltaire   

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Les Anglais étaient en général acquis à l'idée d'une terre légèrement aplatie aux pôles, autrement dit qu'un degré de méridienne était un peu plus long au pôle que partout ailleurs. Par contre, les scientifiques français soutenaient en général les idées de Descartes et désiraient prouver que Newton avait tort. Quelques mesures discutables de la méridienne de Paris semblaient donner tort aux Anglais.  

Pour lever le doute, l’idéal eut été d'aller mesurer un degré de méridienne le plus près possible du pôle ainsi que sous l'équateur. Incroyable mais vrai, c’est ce que les astronomes français parvinrent à faire en peu d'années, soutenus par le pouvoir.  

Cassini de Thury, raconte :

[…] Mr. Godin forma en 1735 le projet d'aller mesurer les degrés sur l'Équateur, et cette entreprise fut jugée si glorieuse pour la France et en même temps si utile à toutes les nations, que Mr. le Conte de Maurepas, Ministre et Secrétaire d'État, procura bientôt à cet académicien, de même qu'à MM.Bouger et La Condamine qui se joignirent à lui, les ordres du Roi et les secours nécessaires pour l'exécution de ce projet. Peu de temps après, Mr. De Maupertuis proposa à l'Académie d'aller le plus au Nord qu'il serait possible, mesurer un degré de méridien, de même qu'on devait le faire sous l'ÉquateurCe dernier projet reçu également l'accord du roi.

 Maupertuis partit le premier avec son équipe et mesura un degré de près de 57.400 toises en Laponie. L'expédition du Pérou trouva un degré d'environ 56.800 toises. Rappelons que Picard avait mesuré 57.060 toises près de Paris. Il était clair que les degrés de méridienne s'allongeaient en allant du sud au nord; la terre était bien bombée à l'équateur et aplatie aux pôles, comme l’avait prévu Newton. Elle devint pour les géomètres non plus une sphère mais un ellipsoïde.

Le mérite de la démonstration en revenait aux astronomes français, car comme disait Voltaire: Pour les Anglais, quoiqu’il aiment à voyager, ils s’épargnèrent cette fatigue et s’en tinrent à leur théorie

Il fallait désormais connaître l'aplatissement avec plus de précision pour espérer améliorer les mesures. Cet aplatissement, ou plutôt sa mesure, fluctua jusqu'à nos jours pour se stabiliser actuellement à 1/298,257...  

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